Hablemos de paradojas
por MIR
Hoy me levanté matemática
Los que me conocen saben de mi afición por las paradojas
Hace poco, el pasado 18 de mayo se cumplieron 136 años del nacimiento de Bertrand Russell, un personaje multifacético (literato, filósofo, matemático, pacifista y racionalista prominente)
Dicen que su pasión fueron las matemáticas hasta que llegó a la conclusión que eran pura tautología y por ende perdió todo interés en ellas.
Este hombre de varias vidas en una emprendió durante la misma una única lucha: contra la estupidez y por la felicidad.
Entre sus aportaciones a la historia del pensamiento destacan:
Los que me conocen saben de mi afición por las paradojas
Hace poco, el pasado 18 de mayo se cumplieron 136 años del nacimiento de Bertrand Russell, un personaje multifacético (literato, filósofo, matemático, pacifista y racionalista prominente)
Dicen que su pasión fueron las matemáticas hasta que llegó a la conclusión que eran pura tautología y por ende perdió todo interés en ellas.
Este hombre de varias vidas en una emprendió durante la misma una única lucha: contra la estupidez y por la felicidad.
Entre sus aportaciones a la historia del pensamiento destacan:
Desarrollo del logicismo, programa propuesto por Frege según el cual la matemática puede deducirse completamente de la lógica.Paradoja de Russell.
Teoría de tipos: intento de solución de su paradoja.
Teoría de las descripciones.
Fenomenalismo: aplicación del logicismo a las ciencias físicas.
Teoría de tipos: intento de solución de su paradoja.
Teoría de las descripciones.
Fenomenalismo: aplicación del logicismo a las ciencias físicas.
De todo esto y para terminar desembocando en las paradojas voy a transcribir descripciones lo más breves posibles
Primero les cuento que paradójico es tanto aquello que encierra contradicción como lo que va en contra de la opinión común
Por lo tanto es lo inverosímil, lo absurdo, pero también lo extraño
Paradoja de Russell
Primero les cuento que paradójico es tanto aquello que encierra contradicción como lo que va en contra de la opinión común
Por lo tanto es lo inverosímil, lo absurdo, pero también lo extraño
Paradoja de Russell
Paradoja descubierta en 1901 por Bertrando Russell que puso en crisis los fundamentos de la matemática. Russell distinguió entre aquellos conjuntos que no son miembros de sí mismos (por ejemplo, el conjunto de todos los árboles ya que no es un árbol) y aquellos otros que son miembros de sí mismos (como, por ejemplo, el conjunto de todos los seres que no son árboles).
Russell consideró el conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos. Pues bien, ¿dicho conjunto es miembro de sí mismo? En caso afirmativo, debe poseer las propiedades de sus miembros y en consecuencia no es miembro de sí mismo. Pero si no es miembro de sí mismo, entonces es miembro de sí mismo puesto que posee la propiedad que lo define.
Así, pues, dado un conjunto A definido como aquel conjunto de conjuntos que no se tienen a sí mismos como elementos, resulta que:
· Si A es miembro de sí mismo, entonces A no es miembro de sí mismo.
· Si A no es miembro de sí mismo, entonces A es miembro de sí mismo.
En otras palabras, los conjuntos parecen ser de dos tipos: los que se contienen a sí mismos como miembros y los que no. Un ejemplo de los primeros sería el conjunto de las cosas pensables, pues a su vez es una cosa pensable. Un ejemplo de los segundos sería el conjunto de los matemáticos, pues el conjunto en sí no es un matemático y, por tanto, no pertenece al conjunto como miembro.
Consideremos ahora el conjunto de todos los conjuntos que no se contiene a sí mismo como miembro. Llamémosle T. ¿está T contenido en sí mismo como miembro? Si lo está, por definición no se contiene a sí mismo, luego no lo está. Pero si no lo está, por definición, debe estar.
Para evitar estas contradicciones, Russell formuló su
Teoría de los tipos
De Enciclopedia Symploké, la enciclopedia libre.Teoría desarrollada por Bertrando Russell para resolver la paradoja provocada por la clase de aquellas clases que no son elementos de sí mismas
Según este autor, este tipo de paradojas se caracteriza por la autorreferencia, es decir, por la propiedad por la cual ciertas clases, que son totalidades, pueden ser consideradas como miembros de sí mismas. La teoría de los tipos establece diferentes niveles de conceptos: los conceptos de tipo 0 (nombres de individuos o nombres propios), los conceptos de tipo 1 (las propiedades de los individuos), los conceptos de tipo 2 (las propiedades de propiedades de individuos) y así sucesivamente. La manera de evitar las contradicciones provocadas por este tipo de paradojas consiste en cumplir la siguiente regla: ningún concepto puede aplicarse significativamente a conceptos de rango igual o superior.
Clases de personas
Según este autor, este tipo de paradojas se caracteriza por la autorreferencia, es decir, por la propiedad por la cual ciertas clases, que son totalidades, pueden ser consideradas como miembros de sí mismas. La teoría de los tipos establece diferentes niveles de conceptos: los conceptos de tipo 0 (nombres de individuos o nombres propios), los conceptos de tipo 1 (las propiedades de los individuos), los conceptos de tipo 2 (las propiedades de propiedades de individuos) y así sucesivamente. La manera de evitar las contradicciones provocadas por este tipo de paradojas consiste en cumplir la siguiente regla: ningún concepto puede aplicarse significativamente a conceptos de rango igual o superior.
Clases de personas
Hay tres clases de personas
Las que saben contar y las que no
Hay dos tipos de personas en el mundo,
aquellos que creen que el mundo puede ser
dividido en dos grupos de personas
y aquellos que no lo creen.
Hay dos grupos de personas en el mundo
aquellos que pueden ser categorizados en
uno de dos grupos de personas,
y aquellos que no
Lo anterior lo he copiado de la muy divertida página web:
profession jokes. Al leer estas paradojas he recordado una tira de Mafalda, del genial Quino.
Carlos Quintero me hizo ver que en el principio eran tres las clases de personas, y no dos.
Juan Carlos Suñén observó con razón que la segunda de las estrofas no es una paradoja completa, y sugirió añadir la frase "Yo pertenezco a este último grupo".
Lo de
"Hay tres clases de personas:las que saben contar y las que no."
Esto nos dice que el autor de la frase no sabe contar. No hay contradicción, aunque sí sorpresa.
"Hay dos grupos de personas en el mundo;aquellos que creen que el mundo puede ser dividido en dos grupos de personas,y aquellos que no lo creen."
Evidentemente, quien escribe pertenece al primer grupo. No hay contradicción, aunque sí sorpresa, y cierta sensación de caída en una secuencia infinita.
"Hay dos grupos de personas en el mundo:Aquellos que pueden ser categorizados en uno de dos grupos de personas, y aquellos que no."
Este es el ejemplo que más se acerca a la paradoja en el sentido de contradicción, aunque tampoco lo es: en realidad es una demostración de que el conjunto de las personas que no pueden ser categorizadas en dos grupos es el conjunto vacío.
Este es el ejemplo que más se acerca a la paradoja en el sentido de contradicción, aunque tampoco lo es: en realidad es una demostración de que el conjunto de las personas que no pueden ser categorizadas en dos grupos es el conjunto vacío.
Otras paradojas autorreferenciales
Paradoja de los alcaldesÉrase una vez un reino donde había muchas ciudades y por tanto muchos alcaldes. Algunos alcaldes vivían en la ciudad que gobernaban y otros no. El rey, a fin de tener controlados a los alcaldes, decidió que eso se terminaría, y que los alcaldes no podrían vivir donde les pareciera. Lo que hizo fue construir una ciudad que llamó ZAD (Zona de Alcaldes Desplazados) y decretó que en ella vivirían únicamente los alcaldes que no vivieran en la ciudad que gobernaban. Pronto surgió un problema. ¿Dónde debería el rey mandar a vivir al alcalde de la nueva ciudad?
Paradoja del barberoPropuesta por
El único barbero de la ciudad dice que afeitará a todos aquellos que no se afeiten a sí mismos.
Pregunta: ¿quién afeitará al barbero? Si no se afeita a sí mismo será una de las personas de la ciudad que no se afeitan a sí mismas, con lo cual debería de afeitarse, siendo por tanto una de las personas que se afeitan a sí mismas, no debiendo por tanto afeitarse.
Paradoja de los catálogosSupongamos que el bibliotecario de la
Todo va bien hasta que el bibliotecario se pregunta si su nuevo catálogo debe mencionarse a sí mismo o no.
El fin del sueño logicista
En 1902 Russell le manda la famosa carta al pobre Frege y se pone manos a la obra para encontrar una solución. Parecía claro que las dificultades aparecían con los conjuntos que son miembros de sí mismos. Tras enormes sufrimientos intelectuales y varios años de trabajo, Russell propone su teoría de tipos que, simplificando, consistente en organizar los conjuntos en niveles. Por ejemplo, los gatos serían objetos de primer nivel, los conjuntos de gatos de segundo (el conjunto de los siameses, el conjunto de los gatos negros), los conjuntos de conjuntos de gatos de tercero (el conjunto de las razas de gatos), y así sucesivamente. En esta jerarquía solo se puede decir que un objeto de nivel n es miembro de otro objeto solo si este es de nivel n+1. Un conjunto de gatos, por ejemplo los siameses, puede ser miembro de un conjunto de conjuntos de gatos, por ejemplo el conjunto de las razas de gatos, pero no puede ser miembro de otro conjunto de gatos, pues estos solo contienen gatos.
Russell resolvió así la paradoja que él mismo había descubierto, pero los problemas para el programa logicista no había hecho más que empezar. De hecho, pronto se constataría que lo conseguido por Russell y Whitehead no era reducir la matemática a la lógica, sino a la lógica más la teoría de conjuntos.
En cualquier caso, el encargado de darle el golpe de gracia al sueño de Frege sería el lógico Kurt Gödel, quien demostró con su teorema de incompletitud que los sistemas formales del tipo de los descritos en los Principia Mathematica o son incompletos (no pueden demostrar todos los teoremas ciertos) o son inconsistentes (contienen contradicciones). Vamos, que la matemática o no dice toda la verdad, o miente. Pero bueno, esto ya es otra historia
Algo más sobre paradojasLa paradoja se puede definir como una contradicción que resulta de una deducción correcta a partir de premisas congruentes. Es, por tanto, un razonamiento que conduce a dos enunciados mutuamente contradictorios, de tal modo que ninguno de los dos puede ser abandonado.
Podemos distinguir tres tipos de paradojas:
A) PARADOJAS LÓGICO-MATEMÁTICAS (Antinomias)
B) DEFINICIONES PARADÓJICAS (Antinomias semánticas)
C) PARADOJAS PRAGMÁTICAS (Instrucciones paradójicas)
El primer tipo de paradojas pertenece a la LÓGICA FORMAL y a las matemáticas por lo que no nos detendremos en ellas ya que se escapan a nuestro interés clínico o social. Sólo decir que fue RUSSELL, quien en 1906 encontró la solución definitiva a esas paradojas con el desarrollo de la TEORÍA DE LOS TIPOS LÓGICOS.
Un axioma esencial de la Teoría de los Tipos Lógicos es la de que "cualquier cosa que comprenda o abarque a todos los miembros de una colección, no tiene que ser miembro de la misma" (Russell y Whitehead en PRINCIPIA MATEMÁTICA)
Según Russell, los enunciados Lógicos se hallan dispuestos en una jerarquía. En el nivel más bajo disponemos de funciones satisfacibles por individuos; a continuación, funciones satisfacibles por conjunto de individuos; después, funciones que lo son por conjunto de conjuntos de individuos, y así sucesivamente.
CONJUNTO de Conjuntos de individuos> > 3' orden
CONJUNTO de individuos > > 2' orden
Individuos > > 1' orden
Los candidatos para satisfacer las funciones de un nivel dado se dice que constituyen un tipo -y la regla general afirma que todo lo que puede decirse, sea verdadero o falso, acerca de los objetos de un tipo, no puede significativamente decirse de los objetos de un tipo diferente.
La teoría ordena los conjuntos en una 'Jerarquía de tipos", de tal modo que no se permite que ningún conjunto sea un miembro de sí mismo. Las manzanas pertenecen al conjunto de todas las manzanas, pero este conjunto sólo puede ser un elemento de un conjunto de segundo orden, tal como el conjunto de todas las frutas. Los conjuntos de segundo orden sólo pueden ser elementos de conjuntos de tercer orden, y así sucesivamente. De este modo, se eliminan los conjuntos autocontradictorios.
Resulta evidente que la "humanidad" es la "clase" de todos los individuos humanos, pero que ella misma no es un individuo.
Así, por ejemplo: el comportamiento económico de la población de una gran ciudad no puede comprenderse en términos del comportamiento económico de uno de sus habitantes, multiplicado por cuatro millones. De modo similar, mientras que los miembros individuales de una especie están dotados con mecanismos de supervivencia muy específicos, bien sabido es que la especie entera puede precipitarse hacia su extinción y probablemente la especie humana no constituye un caso excepcional.
Pongamos otro ejemplo: el término método se refiere a un procedimiento científico y es la especificación de los pasos que se han de emprender en un orden determinado para lograr una finalidad determinada. Metodología, por otra parte, es un concepto del "tipo lógico' inmediatamente superior: el estudio filosófico de la pluralidad de métodos que son aplicados en las diversas disciplinas científicas. Es por tanto, un meta-método y se encuentra con respecto al método en la misma relación lógica que una clase con respecto a uno de sus miembros. Confundir método con metodología daría lugar a un absurdo filosófico, ya que como ha dicho Wittgensetein "cuando el lenguaje se toma unas vacaciones surgen problemas filosóficos".
De los postulados de la Teoría de los Tipos Lógicos se puede derivar, por tanto, dos importantes conclusiones:
a) los "niveles lógicos" deben ser estrictamente separados a fin de evitar paradojas y confusiones.
b) pasar de un nivel al inmediatamente superior (es decir: de un "miembro" a la clase") supone una mudanza o variación, un salto, una discontinuidad o transformación, es decir, un cambio de la mayor importancia teórica y también práctica, ya que proporciona un camino que conduce fuera un sistema.
El segundo tipo de paradojas, las DEFINICIONES PARADÓJICAS tienen que ver con el lenguaje. Quizá la más famosa de todas las definiciones paradójicas sea la del hombre que afirma con respecto a sí mismo: "ESTOY MINTIENDO". Al llevar esta aseveración a su conclusión lógica, nos encontramos una vez más con que es "verdadera sólo si no lo es"; en otras palabras, que el hombre miente sólo si dice la verdad y, viceversa, es veraz cuando miente. En este caso, no resulta posible utilizar la teoría de los tipos lógicos para eliminar la antinomia, pues las palabras o las combinaciones de palabras no tienen jerarquía de tipos lógicos.
Habrá que acudir a la TEORÍA DE LOS NIVELES DEL LENGUAJE expuesta por el lógico polaco ALFRED TARSKI.
Esta teoría protege contra una confusión de niveles. Postula que en el nivel más bajo del lenguaje se hacen aseveraciones con respecto a objetos. Este es el campo del lenguaje de objetos. Palabras como "verdadero" y "falso" no pueden aparecer en este lenguaje. Sin embargo, cuando queremos decir algo sobre ese lenguaje, debemos utilizar un metalenguaje, un metalenguaje si queremos hablar sobre ese metalenguaje, y así sucesivamente en una regresión teóricamente infinita.Si aplicamos este concepto de niveles del lenguaje a la antinomia semántica del mentiroso, puede comprobarse que su afirmación, aunque compuesta por sólo dos palabras, encierra dos aseveraciones. Una de ellas en el "nivel de objetos", y a otra en el meta-nivel", y dice algo acerca de la que corresponde al primer nivel, a saber: que no es verdadera.Pongamos algunos otros ejemplos de DEFINICIÓN PARADÓJICA.En una pared de una calle hay escrita esta frase: "basta ya de pintadas" o aquel anuncio de periódico que decía con grandes titulares "no lea este anuncio!", o también: "esta frase es falsa
TEORÍA DEL "DOBLE VINCULO".
El tercer tipo de paradojas, las PARADOJAS PRAGMÁTICAS nos lleva a hablar del DOBLE VINCULO.
Un doble vínculo es una situación en la que, haga lo que haga una persona, no puede "ganar".
La hipótesis del doble vínculo fue desarrollada por BATESON y sus colegas en 1956, en su investigación sobre las estructuras de comunicación de familias que tenían un miembro con diagnóstico de esquizofrenia.
Los ingredientes de un doble vínculo pueden describirse de la siguiente manera:
a) Dos o más personas participan en una RELACIÓN INTENSA COMPLEMENTARIA que posee un gran valor para la supervivencia física y/o psicológica de una, varias o todas ellas.
Por ejemplo: la interacción paterno filial,- la situación de enfermedad,- la dependencia material,- el cautiverio; la amistad.- el amor; la lealtad hacía un credo; una causa o una ideología; la situación psicoterapéutica.
b) En ese contexto, se da un mensaje que está estructurado de tal modo que: - SE AFIRMA ALGO: "Te quiero, hijo mío" (Digital)-AFIRMA ALGO DE SU PROPIA AFIRMACIÓN: Rechazo corporal (Analógico)- AMBAS AFIRMACIONES SON MUTUAMENTE EXCLUYENTES (No se puede querer y no querer a la vez)
c) Por último, SE IMPIDE que el receptor del mensaje se evada del marco establecido por ese mensaje, sea META COMUNICÁNDOSE (comentando) sobre él o ABANDONANDO.
d) La experiencia es REPETIDA en el tiempo, de modo que todo el conjunto de componentes ya no es necesario cuando la persona ha aprendido a percibir su universo en modelos de dobles vínculo. Esta es la esencia del doble vínculo.
El problema relativo a la patogenicidad del doble vínculo se ha transformado en el aspecto más debatido y peor comprendido de la teoría, por lo cual es necesario examinarlo detenidamente.
No cabe duda de que el mundo en que vivimos está lejos de ser lógico y de que todos hemos estado expuestos a dobles vínculos, a pesar de lo cual casi todos nosotros nos hemos ingeniado para conservar nuestra cordura. Sin embargo, la mayoría de tales experiencias son aisladas y espurias, aunque en su momento puedan ser de naturaleza traumática. Es muy distinta la situación cuando el contacto con los dobles vínculos es duradero y se convierte gradualmente en una expectativa habitual. Esto, desde luego, se aplica en particular a la infancia, ya que todos los niños tienden a llegar a la conclusión de que lo que les sucede ocurre en todo el mundo: es la ley del universo, por así decirlo. Aquí, entonces, no se trata de un trauma aislado, sino más bien de un patrón definido de interacción. La cualidad interaccional de este patrón quizá se vuelva más clara si se recuerda que el doble vínculo no puede ser, en la naturaleza de la comunicación humana, un fenómeno unidireccional. Si un doble vínculo da lugar a conducta paradójica, entonces esa misma conducta, a su vez, crea un doble vínculo para quien lo estableció.
Una vez que dicho patrón ha comenzado a actuar, virtualmente carece de sentido preguntar "cuándo" y "por qué" se estableció, pues los sistemas patológicos exhiben una cualidad de tipo círculo vicioso, curiosamente autoperpetuadora.
En vista de ello, el problema de la patogenicidad del doble vínculo no puede resolverse en términos de una relación causa-efecto tomada, por ejemplo, del modelo médico de la conexión entre la infección y la inflamación: el doble vínculo no causa esquizofrenia. Todo lo que puede decirse es que, cuando el doble vínculo se ha convertido en el patrón predominante de comunicación, y cuando la atención diagnosticada esta limitada al individuo manifiestamente más perturbado, la conducta de este individuo satisface los criterios diagnósticos de la esquizofrenia. Sólo en este sentido puede considerarse el doble vínculo como agente causal y, por tanto, patógeno. Esta distinción se considera necesaria para poder dar el paso conceptual que va desde la "esquizofrenia como una enfermedad misteriosa de la mente individual" a la "esquizofrenia como patrón de comunicación específico".
